Broches fantaisie: Mon look à moi by Violette Sembon

By Violette Sembon

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Domination Si f(x) = O(g(x)), l' intégrabilité de g sur [a, +oo[ implique celle de f. +oo • Équivalence Si f(x) - g(x), l' intégrabilité de g sur [a, +oo[ équivaut à celle de f. +oo • Situations de référence 1 est intégrable sur [a, +oo[ si, et seulement si, a > 1. Pour a > 0, x H - Pour a> 0, x H e - ax est intégrable sur [0, +oo[. >-- xcr Faites les exercices 2, 3 et 4. 2. 1 Cas des fonctions non bornées sur un intervalle borné "O 0 C :::J 0 • Définitions > Soit f une fonction continue par morceaux sur ]a, b] avec a < b.

Exercice 4 : Soit a > 1. Montrez que, quels que soient les réels strictement positifs XJ, ... , Xn, On a : Exercice 5 : a, b, x et y étant des réels strictement positifs quelconques, montrez que: xln (-X) +y in (y) - ~(x+y)ln (x+y) -- . c Ol ·c >a. 0 u ffl Topologie des espaces normés 1. 1 Définition Soit E un espace vectoriel sur OC: qui vérifie : = lFt Une norme sur E est une application N (1) Vx (2) V À E OC: Vx E E N (,lx) (3) Vx Vy N (x + y) E E N(x) ;;:i O E E E E et N(x) =0 ===> x = O; = IAI N (x); ~ N (x) + N (y).

Exercice 3 : Soit f et g deux applications de R dans R. On suppose que f est convexe et que g est convexe et croissante. Montrez que g o f est convexe. Exercice 4 : Soit a > 1. Montrez que, quels que soient les réels strictement positifs XJ, ... , Xn, On a : Exercice 5 : a, b, x et y étant des réels strictement positifs quelconques, montrez que: xln (-X) +y in (y) - ~(x+y)ln (x+y) -- . c Ol ·c >a. 0 u ffl Topologie des espaces normés 1. 1 Définition Soit E un espace vectoriel sur OC: qui vérifie : = lFt Une norme sur E est une application N (1) Vx (2) V À E OC: Vx E E N (,lx) (3) Vx Vy N (x + y) E E N(x) ;;:i O E E E E et N(x) =0 ===> x = O; = IAI N (x); ~ N (x) + N (y).

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